Cálculo Estocástico y Redes Neuronales

​Objetivos

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1. Estudiar las bases teóricas y técnicas de los procesos estocásticos que permitan comprender las ideas y el alcance del Cálculo Estocástico con énfasis en la teoría financiera.

2. Invitar al alumno a los métodos del aprendizaje profundo por medio de los algoritmos de entrenamiento relacionados con la aproximación estocástica: gradiente estocástico.

3. Estudiar algunas de las principales hipótesis en finanzas relacionadas con el Movimiento Browniano así como su interacción con la definición formal de integral de Ito.

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Temario del curso I 

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1. Martingalas

• Nociones básicas de espacios de probabilidad y variables aleatorias

• Esperanza condicional y filtraciones

• Definiciones básicas de Martingalas

• Primeros ejemplos: caso discreto

• Desigualdad de Doob y su interpretación financiera

• Ley de los grandes números para Martingalas

• Relación con las cadenas de Markov y los teoremas ergódicos

• Urnas de Polya

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2. Redes neuronales y aproximación estocástica

• Algoritmo del Perceptrón clásico

• Algoritmo del gradiente descendiente estocástico para el Perceptrón

• Redes neuronales en general

• Gradiente estocástico en general

• Relación con martingalas y Algoritmos de Aproximación Estocástica

• Aproximación Estocástica en General

3. Movimiento Browniano

• Definición formal

• Procesos Gaussianos y camitas aleatorias

• Propiedad de Markov

• Integral de Wiener y relación con la integral estocástica

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Temario del curso II

1. Introducción a las matemáticas de los productos derivados

• Caso de estudio: modelo de un periodo

  • Modelo simplificado

  • Ausencia de oportunidad

  • Interpretación geométrica y probabilista

• Un caso con N periodos

  • Relación con martingalas

  • Fórmula discreta de Black-Scholes

2. Integral estocástica

• Definición formal

• Propiedades y primeros ejemplos

• Martingala local

• Procesos de Ito

• Lema fundamental de Ito

3. Aplicaciones y relaciones con el aprendizaje profundo

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