Análisis de Fourier y Wavelets

El análisis de Fourier es uno de los grandes logros de las matemáticas, sus ideas han influido profundamente en casi todas las áreas de las matemáticas y la física. Además de lo anterior es importante resaltar la gran cantidad de aplicaciones en la ingeniería, la teoría de señales y recientemente en la ciencia de datos. Recientemente estas técnicas han sido generalizadas mediante las ondículas por ejemplo para la compresión de archivos. Este curso busca invitar al alumno a conocer los detalles detrás de estos fascinantes métodos. 

​Objetivos

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• Un repaso de álgebra lineal con miras al análisis de Fourier y al estudio de las Ondículas.

• Estudiar las aplicaciones de la transformada de Fourier y las bases de Haar, las cuales representan los primeros pasos para la teoría de Ondículas.

• Introducir al estudiante al estudio de las ondículas desde un punto de vista formal en el sentido de Meyer-Mallat. 

• Conocer algunas aplicaciones de las ondículas a problemas inversos, compresión o a denoising. 

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Temario

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Curso uno

1. Análisis de Fourier

• Conceptos básicos 

• La transformada de Fourier discreta

• La transformada de Fourier continua

• Estudio de la transformada de Fourier en L1

• Teoremas fundamentales

• La transformada rápida de Fourier 

• Aplicaciones a la compresión

• Principio de Heisenberg

• Efecto Gibbs 

• Relación con la teoría de la información

2. Transformadas de Gabor

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3. Haar: las primeras ondículas

• Bases de Haar

• Producto de Kronecker 

• Aplicaciones a la compresión

• Transformada de Haar

Curso dos

1. Ondículas discretas

2. Ondículas continuas

3. Transformada de ondículas

4. Frames

5. Regularidad de Lipschitz

6. Aplicaciones a la compresión

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