La dimensión fractal y la autosimilitud
Los fractales son una familia de objetos geométricos que nos han maravillado desde hace varias décadas, por supuesto llaman nuestra atención por ser bonitos e intrigantes. A los matemáticos también nos asombran y desde hace muchos años los fractales han sido el objeto de un minucioso estudio tanto en matemáticas aplicadas como en matemáticas puras. El primer matemático en estudiar estos objetos fue el francés Benoit Mandelbrot.
En este texto que hemos preparado en conjunto vamos a presentar algunos fractales y hablaremos sobre cómo el concepto de dimensión fractal es indispensable para comprender la naturaleza de estos objetos.
La dimensión dimensión de una base de datos es un concepto fundamental que los científicos de datos profesionales necesitan dominar pues en algunos casos la correcta comprensión de la dimensión de una base de datos nos ayudará a distinguir la familia de algoritmos que mejor se adaptan a un problema.
¿Qué es un fractal?
Existen algunos desacuerdos sobre cuál es la definición correcta de un fractal sin embargo el concepto de auto similitud es esencial y aparecerá en casi cualquiera de las posibles definiciones, en este texto utilizaremos la auto-similitud como la definición de un fractal lo cual podría ser debatible, aún así por motivos didácticos creemos que es la mejor elección.
Sea X un objeto geométrico, diremos que X satisface la autosimilitud (o es un fractal) cuando sea posible partir a X en una cantidad finita de partes A, B, C, … ,Z y un número C de tal manera que todas estas partes son iguales a X después de escalarlas en proporción C.
En una fórmula podemos escribirlo de la siguiente manera:
Una de las objeciones de esta definición es que por ejemplo una línea recta sería un fractal, pues si X es un segmento de recta con x metros de longitud, podemos dividirla en N partes iguales, estos segmentos tendrán longitud x / N, en este caso podríamos escalar todos estos segmentos de rectas por un factor C=N y se cumple la auto-similitud. En este texto vamos a permitir que una recta sea un fractal, podríamos llamarle un fractal trivial.
Ahora daremos algunos ejemplos de otros objetos que satisfacen la autosimilitud, en este caso a diferencia de la línea recta, la autosimilitud será cierta estadísticamente hablando, es decir que la igualdad en la ecuación anterior podría no ser estricta sino estadísticamente cierta.
Frontera entre dos países
El estudio matemático de los fractales comenzó con una observación de Lewis Fry Richardson sobre la longitud de la frontera entre España y Portugal, la cual era calculada por el mismo método pero a distintas escalas en ambos países y obteniendo resultados irrazonablemente distintos.
Tanto las fronteras de los países como las líneas costeras presentan propiedades similares y fue Mandelbrot quien sugirió que la autosimilitud es una propiedad indispensable para entender matemáticamente las observaciones de Richardson.
Para una frontera X entre dos países la autosimilitud significa que las formas geométricas se repiten a distintas escalas, es decir cuando le hacemos un zoom en un mapa con suficiente resolución vamos a ver figuras similares a lo que veíamos antes del zoom.
Series de tiempo financieras
Otro de los objetos que han sido ampliamente observados como autosimilares son las series de tiempo financieras, de hecho buena parte del trabajo del mismo Mándelbrot estuvo enfocada a estudiar este tipo de bases de datos. La autosimilitud en este caso explica la enorme complejidad para modelar estos fenómenos.
Redes complejas
Hace algunos años se ha publicado en Nature un artículo en el que se demuestra empíricamente que muchas redes como la del Ethernet presentan este mismo comportamiento fractal lo cual es muy sorprendente.
¿Cómo calcular la dimensión?
La idea principal para el cálculo de una longitud, de un área o del volumen es dividir nuestro objeto en fragmentos más pequeños y después sumarlas para obtener el resultado final, finalmente esta es la idea básica detrás del concepto de integral.
La fórmula en general podría escribirse de la siguiente manera, donde V(X) representa el volumen del objeto X, el cual hemos dividido en N partes distintas.
Para que la anterior fórmula sea eficaz en la práctica, necesariamente los objetos en los que hemos dividido a X deberán tener un volumen fácil de calcular, por ejemplo los segmentos de recta, los cuadrados, los cubos, etc.
Todos ellos pueden calcularse de la siguiente manera:
De esta manera la fórmula para el cálculo de V(X) se transformará en lo siguiente, si suponemos que N es el número de piezas en las que hemos dividido a X:
Notemos que al aplicar la función logaritmo a esta fórmula obtenemos lo siguiente:
Mandelbrot propuso tratar a la cantidad Log(C) como una variable explicativa y al Log (V(X)) como nuestra variable dependiente, notemos que esto es un poco extraño pues C es una escala.
La observación final por increíble que parezca es que para la mayor parte de los países o líneas costeras y en general para los fractales, existen dos números D y B tales que al variar la escala C y calcular su logaritmo, el logaritmo del volumen (o longitud) de X se describe estadísticamente bien como una recta con pendiente D y ordenada al origen B. La auto-similitud es la propiedad fundamental que permite el razonamiento anterior.
Al regresar las cantidades D que están en escala logarítmica a su original, Mandelbrot notó que esta constante es un número estrictamente mayor a uno pero menor que dos, lo cual es conocido como la dimensión fractal de X. ¡Por ejemplo la dimensión fractal de París es de 1.62! No conozco la dimensión fractal de la Ciudad de México.
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