Las redes son un objeto matemático con una enorme flexibilidad para poder modelar fenómenos complejos tanto dentro de la naturaleza como dentro de nuestra sociedad o nuestras herramientas tecnológicas.

La transformada de Fourier fue propuesta por Joseph Fourier en 1822, en su trabajo Teoría Analítica del Calor, en dicho tratado propone que cualquier función puede ser expresada en términos de una serie de funciones seno. Posteriormente Peter Gustav Dirichlet introduce  condiciones necesarias para que la afirmación de Fourier sea correcta.

En este artículo junto a mi amigo Gerardo Hernandez-del-Valle vamos a compartir con nuestra comunidad tres casos de uso en los que el uso de la transformada de Fourier tiene aplicaciones en los siguientes problemas:

• El mercado de los productos derivados.
• El mercado de los criptoactivos.
• La demanda de energía.

Los orígenes de la transformada de Fourier

La transformada de Fourier es uno de los avances científicos más importantes tanto por la cantidad de aplicaciones a diversos dominios del conocimiento como por su estética desde el punto de vista matemático. Antes de hablar sobre el análisis de Fourier en toda su generalidad comenzaremos con el llamado caso finito que consiste en estudiar funciones periódicas.

Hace más de 200 años Fourier sorprendió a la comunidad matemática asegurando que la mayoría de las funciones pueden expresarse como una serie infinita de funciones de senos y cosenos. Las funciones de senos y cosenos son funciones que expresan la relación que existe entre los lados de un triángulo en función de uno de sus ángulos.

Valuación de opciones volátiles

Una de las aplicaciones más importantes de la transformada es en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales como es el caso de la ecuación del calor. En Finanzas, el precio de algunos productos derivados puede expresarse como una ecuación diferencial estocástica. Mediante las transformaciones de Fourier es posible realizar la valuación de los productos derivados el cual es uno de los activos financieros más importantes pues su mercado a nivel global es uno de los más grandes que existen por su flexibilidad para la mitigación del riesgo.

El primero en utilizar el análisis de Fourier para resolver el problema de la valuación de los productos derivados fue Heston en 1993, algunos años más tarde Madam y Carr utilizaron la transformada rápida de Fourier para mejorar los resultados. La transformada rápida de Fourier es la encarnación computacionalmente viable del Análisis de Fourier teórico, sus repercusiones en la teoría de la compresión la convirtieron en uno de los pilares de la teoría de la computación.

En el artículo A fast Fourier transform technique for pricing American options under stochastic volatility, su autor Oleksandr Zhylyevskyy introduce el uso de estos métodos para valuar opciones cuyo subyacente es el S&P500, su análisis es particularmente interesante pues incluye el caso en el que la volatilidad del proceso es estocástico. Les compartimos la referencia con el artículo original.

Valuación de crypto-activos

En el análisis de de procesos no estacionarios se ha desarrollado el llamado Empirical Mode Decomposition (EMD) que está basado en métodos espectrales clásicos aplicados a procesos estocásticos generales. Esta descomposición es una generalización de Fourier utilizando algunas ideas de Hilbert.

Les compartimos el siguiente artículo Adaptive Complementary Ensemble EMD and Energy-Frequency Spectra of Cryptocurrency Prices en el que los autores utilizan EMD para el forecast de cripto-activos. Es bien conocido que este tipo de activos presenta fenómenos de multi-escala lo cual es típico en los procesos no-estacionarios. En este artículo se utiliza una ligera variación del EMD.

Predicción del consumo energético

El análisis de series de tiempo y en particular el forecast se puede llevar a cabo usando la metodología ARIMA, sin embargo también se puede hacer utilizando el análisis espectral basado en las transformadas de Fourier. Existe una relación uno a uno entre ambas teorías.

En el artículo From Fourier to Koopman: Spectral Methods for Long-term Time Series Prediction los autores utilizan distintos tipos de descomposiciones espectrales para modelar dependencias largas a través del tiempo, este problema es uno de los más complicados de solucionar y recientemente los métodos neuronales como LSTM o inclusive las arquitecturas de Transformer han podido ayudar a este problema. En este artículo se implementan estas técnicas utilizando datos reales del consumo de energía.

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