Lo mejor del 2023 en Matemáticas (7 artículos formidables)
El Colegio de Matemáticas Bourbaki les desea un excelente fin del 2023 así como un maravilloso 2024 a ustedes, sus familias, amigos y colegas.
Este año ha sido muy productivo en investigación en matemáticas y queremos compartir con nuestra comunidad algunos de los artículos que se han publicado o anunciado este 2023 que desde nuestro punto de vista son los más llamativos e importantes para las matemáticas.
En cada uno de estos incisos acompañamos la liga al artículo original con una breve explicación con los detalles generales del trabajo.
Un azulejo Einstein: aperiódico y conexo
Durante varias décadas los matemáticos se han preguntado si existe una figura plana que esté conectada, cubra el plano cartesiano por completo si utilizamos suficientes copias de ella misma, sin que exista una simetría de traslación. Las simetrías de traslación son por ejemplo las que observamos en los azulejos hexagonales o mucho más sencillo en las cuadrados.
En el 2023 gracias al trabajo empírico de David Smith un aficionado de los rompecabezas, un grupo de matemáticos descubrió una familia infinita de azulejos que cumplen con esta propiedad sorprendente. Les compartimos el artículo para que puedan conocer más detalles.
Espacios de moduli y característica de Euler
Un espacio de moduli es la familia de todos los objetos geométricos o combinatorios con ciertas características, por ejemplo podríamos pensar en el espacio de moduli de todos los triángulos. Si a cada familia parametrizada de estos objetos las dotamos con la geometría del espacio de parámetros, podemos construir una geometría sobre el conjunto completo.
En el siguiente artículo que les compartimos un equipo de matemáticos motivados por problemas y técnicas de la teoría cuántica de campos demostró que el espacio de moduli de grafos con un grado fijo satisface la característica de Euler, uno de los teoremas topológico-geométricos más importantes.
Números de Ramsey
En un grupo de seis personas cualesquiera, algunas de ellas se conocen entre sí y otras no lo harán, no es difícil demostrar que necesariamente existe un grupo de tres personas que o ninguno de ellos se conoce, o todos se conocen, en teoría de Ramsey este resultado se escribe de la siguiente manera: el número de Ramsey R(3)<=6.
Estos números de Ramsey y algunas versiones más complicadas y precisas son extremadamente difíciles de calcular. Una versión de estos cálculos fue demostrada por primera vez en 1935 por Erd˝os y Szekeres, desde entonces no se había mejorado este cálculo y este año en uno de los mejores resultados del 2023 se redujo exponencialmente esta cota.
La conjetura polinomial de Freiman–Ruzsa
Una de las áreas más prolíficas e importantes en matemáticas durante los últimos años es la conocida como Additive Combinatorics, la cual se dedica a descubrir propiedades combinatorias que tienen una implicación aritmética en los números naturales u otras estructuras algebraicas.
Sin lugar a dudas uno de los resultados más importantes de este año es el demostrado por Terence Tao, Ben Green y T. Gowers y Freddie Manners en el siguiente artículo en el que demuestran que cierta propiedad combinatoria implica parecerse a un subgrupo dentro de espacios vectorias de característica 2.
Es muy interesante que algunas partes de este artículo fueron verificadas por demostración asistida por una computadora, esta es una de las pocas veces en las que se han utilizado estas técnicas para verificar resultados de este nivel de sofisticación.
La conjetura del telescopio es falsa
Para entender mejor los objetos geométricos podemos utilizar la familia de funciones continuas que se pueden definir hacia ellos, un ejemplo de esto es la manera de definir la conexidad mediante funciones continuas a un conjunto con dos elementos.
Hace algunas décadas utilizando objetos que continuan en más dimensiones a las curvas (como un telescopio a un círculo) Ravenel sugirió cómo utilizar la homotopía para comprender mejor la geometría de objetos como las esferas de muchas dimensiones. Solo una conjetura no se había demostrado hasta la fecha.
En un artículo sorpresivo en la conferencia de celebración de Michael Hopkins anunciaron una demostración de por qué esta conjetura es falsa.
Modularidad sobre extensiones cuadráticas imaginarias
Uno de los trabajos más famosos en teoría de números es la demostración de Andrew Wiles del Teorema de Fermat, para la cual necesitó numerosos resultados técnicos intermedios, uno de ellos es el llamado teorema de modularidad el cual establece una relación entre formas modulares y curvas elípticas definidas sobre los números racionales.
En un trabajo monumental Ana Caraiani y James Newton demostraron un análogo del teorema de Wiles para curvas definidas sobre extensiones cuadráticas imaginarias de los racionales. Les compartimos el artículo.
Teoría de la relatividad y curvatura
Intuitivamente en un espacio tres dimensional, si la cantidad de masa de un cuerpo tiene a cero, uno esperaría que de la misma forma su curvatura se convirtiera en la misma que la de un espacio plano. En un artículo reciente demostraron que esto es cierto lo cual prueba una conjetura de Huisken y Ilmanen que tenía muchos años abierta y está relacionada con la célebre desigualdad de Penrose.
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