Los medallistas Fields 2022
Alfonso Ruiz
Existen muchos premios en matemáticas que afortunadamente ayudan a promover la labor de estos científicos quienes en su mayoría trabajan dentro de universidades, sin embargo el honor más grande que podría recibir un matemático es sin lugar a dudas la medalla Fields. Este premio tiene la curiosidad de solo entregarse a matemáticos que no superen los 40 años de edad y se entrega cada 4 años en el International Congress of Mathematics.
El 5 de Julio de 2022 fueron entregadas en Helsinki 4 medallas Fields y el Colegio de Matemáticas Bourbaki en su responsabilidad y alegría por promover las matemáticas a un amplio público ha decido publicar en el siguiente boletín un acercamiento informal al monumental trabajo de estos 4 genios.
El formato en el que está organizado el texto es el siguiente:
- Una breve reseña sobre el medallista Fields
- Un ejemplo sencillo y detallado de algún teorema que el/la medallista haya demostrado
- Una explicación vaga sobre la generalidad de su obra
Hugo Duminil-Copin
Es un matemático francés cuyos intereses intelectuales se han balanceado entre las matemáticas puras y la física. Es profesor tanto en el IHES (Francia) como en la Universidad de Ginebra (Suiza) y es ampliamente conocido en el medio por su energética manera de trabajar y por la claridad cristalina con la que comunica sus descubrimientos.
Caminatas autoevitantes
Supongamos que somos una familia de hormigas caminando por las orillas de un piso adoquinado donde la figura de cada una de las piezas es un hexágono. Esto significa que al avanzar desde cualquier punto, si no queremos regresar nunca por la misma arista (la recta donde se tocan dos adoquines) solo podemos movernos en dos direcciones posibles. A las restricciones anteriores le añadiremos prohibir aquellos caminos que pasan dos veces por el mismo vértice (puntos donde se tocan tres adoquines). Si una caminata de hormigas cumple las condiciones anteriores recibirá el nombre de una caminata autoevitante.
Contar el número de caminatas autoevitantes que existen era un problema abierto hasta que Duminil-Copin y Smirnov demostraron el siguiente teorema:
Si únicamente nos restringimos en caminatas autoevitantes que pasen por n aristas entonces el número de caminatas es igual a:
Física estadística
Aunque el teorema antes mencionado sobre las caminatas autoevitantes fue publicado en Annals of Mathematics y resolvió una conjetura de hace 40 años, las principales razones por las que Duminil-Copin recibió la medalla Fields son sus trabajos relacionados con la física estadística.
Particularmente por sus resultados sobre la continuidad de las transiciones de fase en dimensión 2 y 3. Un ejemplo de una transición de fase es cuando el agua se convierte en hielo por ejemplo, para modelar este fenómeno se puede utilizar una familia de modelos conocida como modelos de Potts. Estos modelos como la mayoría son una simplificación que de hecho se parecen un poco al espacio donde caminaban las hormigas en el ejemplo anterior, en este caso los vértices son moléculas y las aristas serán correlaciones estructurales entre ellas.
June Huh
Nació en California y creció en Korea del Sur, su formación es bastante peculiar pues de joven (incluso siendo estudiante de doctorado) no fue reconocido como un brillante matemático, esto seguramente está relacionado con que su interés por las matemáticas se despertó tarde, de hecho durante buena parte de su juventud planeó ser un poeta.
Convexidad discreta y continua
La convexidad es uno de los conceptos más importantes en matemáticas tanto puras como aplicadas pues permite simplificar problemas de optimización (por ejemplo el entrenamiento de modelos utilizando datos). Existen por lo menos dos conceptos de convexidad, al primero le llamaremos convexidad continua y al segundo discreta.
Diremos que una figura geométrica (en cualquier dimensión) es continuamente convexa cuando al elegir cualesquiera dos puntos A, B dentro de ella, el segmento de recta que une estos puntos está contenido en la figura original.
Por el otro lado, una figura es discretamente convexa cuando la ecuación matemática que la define es aproximadamente un polinomio cuyos monomios satisfacen lo siguiente: si A, B son dos monomios, entonces los monomios cuyos exponentes estén a distancia uno de los exponentes de A, B también aparecen en ese polinomio. Por ejemplo si A=x^3, B=y^3, entonces los monomios que deben aparecer son y(x^3), x(y^3). El teorema que demostró recientemebte Huh dice lo siguiente:
La convexidad discreta y continua son equivalentes.
Teoría de Hodge
El resultado que mencionamos anteriormente es solo la punta del iceberg en el trabajo de Huh quien recibió la medalla Fields por demostrar la existencia de elaboradas estructuras vectoriales asociadas a objetos combinatorios (por ejemplo los polinomios). Tradicionalmente estas estructuras existen para algunos objetos geométricos conocidos como variedades diferenciables sin embargo Huh fue capaz de demostrar que estas estructuras también emergen para el caso de una gigantesca familia de objetos combinatorios conocidos como matroides. De esta manera fue posible demostrar utilizando ideas geométricas algunas de las conjeturas más elaboradas en combinatoria.
James Maynard
Estudió su doctorado en la Universidad de Oxford donde actualmente es profesor, es conocido por su enorme valentía para afrontar algunos de los problemas más complicados en matemáticas incluso durante sus años de estudio, especialmente aquellos relacionados con los números primos (aquellos que solo son divisibles de manera exacta entre ellos mismos o entre el 1).
Números primos sin 7's
Demostrar que existe una cantidad infinita de números primos es uno de los primeros razonamientos a los que se enfrenta un matemático, por contradicción se supone que existiera una cantidad finita, todos ellos se multiplican y a esta multiplicación se le suma uno. Gracias al Teorema Fundamental de la Aritmética este nuevo número debería de tener una descomposición utilizando los números primos que multiplicamos lo cual pronto genera una contradicción (¿cuál?).
James Maynard demostró que no solo existen una cantidad de números primos sino que:
Es posible encontrar una cantidad infinita de primos que no contengan al dígito 7, es decir que la sucesión 2, 3, 5, 11, 13, 19, ... continúa hasta el infinito.
Este resultado es verdaderamente fascinante pues intuitivamente el número de dígitos que no contienen al dígito 7 deberían de ser pocos a grandes escalas sin embargo aún así es posible encontrar suficientes primos.
Estructura de los números primos y aproximación diofantina
Además de demostrar que los números primos son abundantes en el sentido del resultado anterior, Maynard también probó resultados en la otra dirección en la que construye conjuntos sorprendentes en los que la presencia de primos es realmente escasa. Sus trabajos relacionados con la repartición de uno de los conjuntos más enigmáticos de los naturales han revolucionado a la teoría de números en unos pocos años.
Maryna Viazovska
Actualmente es profesora de École Polytechnique Fédérale de Lausanne, nació en Ucrania y desde muy pequeña destacó por su enorme capacidad para resolver problemas matemáticos en la Olimpiada Internacional de esta rama. Es la segunda mujer en ganar este premio en un área donde la presencia de las mujeres aún es un pendiente de nuestros sistemas educativos.
Empacamiento de esferas en dimensión 8 y 24
El problema de empacar esferas puede enunciarse fácilmente en dimensión tres, supongamos que tenemos naranjas (mismo tamaño e imposibles de aplastar) que deseamos acomodarlas dentro de una caja minimizando el espacio vacío (maximizando el número de naranjas que quepan dentro de la caja). En este caso fue demostrado (utilizando una computadora y una ingeniosa búsqueda) que el porcentaje máximo del volumen de la caja que podríamos llenar con naranjas es aproximadamente el 70.04%. Si en lugar de naranjas pensamos en anillos en una superficie el porcentaje es aproximadamente 90.69%.
Aunque la mayor parte de nuestra vida diaria transcurra a lo más en 2 dimensiones, frecuentemente resolvemos problemas en numerosas dimensiones, a esto están habituados los científicos de datos. Sin embargo fuera de dos y tres dimensiones, el problema del empacamiento de esferas era prácticamente inalcanzable para los matemáticos sin embargo Viazovska demostró lo siguiente:
En dimensión 8 y 24 es posible acomodar las esferas de tal forma que 25.36% y 0.1929% del espacio.
Interpolación de Fourier
El resultado anterior sobre el empacamiento de esferas es sin lugar a dudas maravilloso sin embargo Viazovska demostró aún más pues exhibió una manera constructiva de empacar a las esferas. Esto en realidad era supuesto por los matemáticos previo a su trabajo sin embargo el avance monumental que ella propuso fue reconstruir las funciones que describen el acomodo de las esferas en dimensión 8 y 24 utilizando únicamente fragmentos sobre la transformada de Fourier. Es verdaderamente difícil imaginar que después de tantos años aún sea posible demostrar resultados novedosos e incluso inimaginables dentro de esta área de las matemáticas pero Viazovska lo logró.
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