¿Qué es la incompletitud de Gödel?
Uno de los resultados matemáticos que más han capturado al público en general es el célebre Teorema de Incompletitud de Gödel el cual resignificó a las matemáticas como una disciplina axiomática y rigurosa.
Para comprender correctamente qué dice el teorema de Gödel debemos considerar los siguientes dos enunciados escritos en castellano:
El menor número X (entero y positivo) que no se puede definir en un tweet.
Notemos que este enunciado es contradictorio pues la frase anterior cabe perfectamente en un tweet y al mismo tiempo está señalando de manera única a este posible número, dicho de otra manera lo está definiendo y esto contradice al enunciado. Otro enunciado muy similar es el siguiente:
Un barbero X afeita a todas las personas dentro de un pueblo que no se afeitan a sí mismas.
Le sugerimos a nuestros lectores que comprueben por qué este enunciado es contradictorio. Hint: ¿Quién afeita al barbero?
Los enunciados anteriores son ejemplos de la familia de enunciados de Gödel los cuales se definen como aquellos para los cuales no podemos concluir con certeza si son ciertos o falsos.
En este texto vamos a reseñar la existencia de este tipo de enunciados en distintos contextos como la aritmética, la la geometría, la física, la computación, machine learning o las matemáticas financieras.
Le agradecemos mucho a Plácido Doménech Espí por su invitación a discutir sobre este tema que fue nuestra motivación para escribir este texto.
La aritmética y el primer teorema de incompletitud
Para muchos matemáticos el conjunto de los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, ... junto a la operación de suma y multiplicación son el objeto más importante de las matemáticas. Estos números son los primeros que aprendemos desde nuestra infancia y su aritmética es fundamental para comprender nuestro mundo.
La oración anterior no es exagerada, por ejemplo la seguridad que sentimos al comprar en sitios de internet protegidos con técnicas de criptografía depende de las propiedades de los números primos las cuales a su vez son una consecuencia de las propiedades aritméticas de los números naturales.
El primer Teorema de Incompletitud de Gödel afirma que si suponemos las reglas básicas de la aritmética, entonces es posible utilizar números naturales para definir enunciados de Gödel, es decir que existen enunciados sobre los números naturales para los cuales es imposible decidir si son verdaderos o falsos.
Lo anterior es verdaderamente sorprendente si notamos que los dos enunciados al inicio de este texto son enunciados en castellano que hacen uso del lenguaje natural y no son precisamente fórmulas matemáticas. La gran revolución de Gödel es construir fórmulas matemáticas que capturen esta sintaxis paradójica.
La geometría euclidiana es completa
La geometría euclidiana fue la primera propuesta axiomática de una teoría matemática, es decir que basándonos en principios fundamentales como la existencia de una única recta que contenga a dos puntos, se intentó demostrar complicados teoremas como la clasificación de los sólidos platónicos. Es llamativo que esta axiomatización fue propuesta mucho antes que la de la aritmética.
El matemático Tarski demostró que la axiomatización de la geometría euclidiana no contiene enunciados de Gödel y por lo tanto no existe un análogo del Teorema de Incompletitud. Cabe insistir en que el resultado de Tarski no ocasiona ningún conflicto con el teorema de Gödel pues en geometría euclidiana no es posible definir a los números naturales junto a sus operaciones de suma y multiplicación.
La computación es incompleta
Uno de los primeros matemáticos que comprendieron con profundidad la existencia de los enunciados de Gödel fue Alan Turing quien después de axiomatizar a las computadoras que utilizamos hoy en día, propuso un enunciado de Gödel dentro de la teoría de la computación, con este enunciado todos los programadores están muy familiarizados:
Un algoritmo X decide cuándo otro algoritmo se detiene.
La física es incompleta
Recientemente un grupo de científicos demostró que los enunciados de Gödel también existen en las axiomatizaciones de fenómenos físicos. Aunque algunas de las hipótesis incluidas en estos ejemplos de axiomatización incluyen un cuerpo infinito, los resultados son verdaderamente inesperados y no olvidemos que dentro de los axiomas de la aritmética también se incluye la infinitud de estos números.
Así como es importante comprender la física detrás del cambio de estado en la materia (por ejemplo de líquido a sólido), nos gustaría cuantificar el cambio de energía mínimo entre el estado fundamental de un sistema cuántico (sin energía) y el primer estado en el que el sistema está excitado. Cuando existe una cota mínima de energía diremos que este sistema tiene una brecha, se ha demostrado que algunos sistemas sí tienen una cota mínima y otros no. A este problema se le conoce como la Brecha Espectral.
El teorema que se demostró recientemente comprueba que la Brecha espectral en general es un enunciado de Gödel.
Machine Learning es incompleto
También la estadística se ha preocupado por axiomatizar a Machine Learning, a esta área se le conoce como PAC Learning y es una herramienta muy importante para los científicos de datos.
Recientemente se demostró que los axiomas de Machine Learning también contienen enunciados de Gödel, la técnica que se utilizó en este caso es un poco más complicada pues requiere a enunciados de Gödel sobre los cuáles no hemos hablado en este texto relacionados con la Teoría de los Conjuntos.
¿Los matemáticas financieras son incompletas?
Es inminente preguntarnos si algunas axiomatizaciones de fenómenos financieros podrían también contener enunciados de Gödel, no conocemos algún resultado en este sentido sin embargo es un problema muy interesante.
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