Redes neuronales v.s. Black & Scholes
Alfonso Ruiz
Los modelos matemáticos han moldeado nuestra sociedad, por ejemplo la manera como la mayoría de las compañías interactúan con sus clientes está definida por algoritmos. Una de las áreas en la que los modelos matemáticos de inteligencia artificial han influido más son las finanzas. En este artículo hablaremos sobre cómo uno de los modelos más utilizados en inteligencia artificial, a saber las redes neuronales, ha influido en el mundo financiero.
Quizás el primer científico en investigar sobre las matemáticas financieras tal y como las conocemos ahora fue el francés Louis Bachelier quien en su tesis de doctorado titulada Théorie de la spéculation introdujo entre otros conceptos el movimiento browniano para modelar los precios. La tésis de doctorado de Bachelier fue dirigida por Henri Poincaré de quien ya hablamos en nuestro BOURBAKISME anterior.
El trabajo de Bachelier sentó las bases para lo que el día de hoy conocemos como los Productos Derivados de los cuales hablaremos más adelante. Al finalizar el artículo repasaremos cómo las redes neuronales proponen un acercamiento paralelo a la teoría de los productos derivados.
¿Qué son los productos derivados y por qué son importantes?
Los productos derivados son contratos financieros utilizados para cubrir, especular o encontrar oportunidades de arbitraje, y están motivados por la incertidumbre inherente en los mercados financieros.
En general se distinguen tres tipos de contratos: Forwards o Futuros, Opciones y Swaps:
- El Forward o Futuro nos permite acordar un precio de compra o venta futura de un activo subyacente a un precio pactado hoy. Esto es, el precio futuro de compra o venta está garantizado.
- Alternativamente las Opciones son seguros de compra o venta de un activo financiero. Por lo tanto, contingente en el pago de un prima, uno asegura el precio al que uno quiere comprar o vender un activo. Al expirar dicho contrato, uno decide si es conveniente o no ejercer el seguro.
- Finalmente los Swaps son contratos que nos permiten garantizar el intercambio de una sucesión de flujos futuros contingente en el comportamiento de un activo subyacente. El contrato Swap más operado es el Swap de tasas de interés, o IRS por sus siglas en inglés. Dicho contrato nos permite intercambiar flujos futuros a tasa fija por flujos futuros a tasa variable.
¿Qué calcula la fórmula de Black & Scholes?
Como se acaba de mencionar, la Opción financiera es un instrumento derivado que nos permite asegurar la compra o venta futura, de un activo subyacente a un precio pactado hoy.
Por ejemplo supongamos que queremos asegurar la compra de 1MM de dólares a 21 pesos por dólar, con expiración a 6 meses. Dicho “seguro” será ejercido sí y sólo sí, en la fecha de expiración del contrato, el precio del dólar es mayor a los 21 pesos, en caso contrario no se ejercerá. La pregunta natural sería ¿cuánto cuesta la prima?
La respuesta a esta pregunta fue premiada con el Nobel de Economía y la dieron los científicos Myron Scholes y Fischer Black, actualmente la fórmula para hacer este cálculo se conoce como la ecuación de Black & Scholes. Cabe mencionar que para derivar la ecuación se deben hacer algunos supuestos además de restringirnos a las llamadas Opciones Europeas.
¿Por qué podría ser insuficiente la fórmula de BS?
Tal y como sucede en cualquier formulación matemática, en la derivación de la fórmula de B&S se deben hacer algunos supuestos que son idealizaciones de la realidad. Por lo tanto existe la posibilidad de relajar dichos supuestos que a su vez nos llevarán a modificaciones de la fórmula.
Las redes neuronales conocen B&S
El enfoque que siguieron Black y Scholes para deducir su fórmula no es el que un científico de datos en la actualidad utilizaría pues ellos dedujeron un modelo matemático utilizando una familia de supuestos sobre los productos derivados y utilizando una poderosa herramienta matemática llamada Cálculo Estocástico dedujeron la fórmula.
Un científico de datos afrontaría el problema de la valuación de las primas de una manera empírica recolectando los precios en los que históricamente se han vendido estas primas y a partir de ahí entrenaría (con un algoritmo de optimización) un modelo que aproxime lo mejor posible intentando no sobre-ajustar.
Una posible elección del modelo matemático podrían ser las redes neuronales, las cuales son una iteración finita de funciones lineales, afines y de activación, sobre ellas platicamos con mayor detalle en nuestro BOURBAKISME anterior.
Uno de los resultados más interesantes sobre las redes neuronales es que estos modelos al entrenarse mediante bases de datos con precios históricos de Opciones, pueden reproducir fielmente las predicciones de B&S sin necesidad de hacer ningún supuesto sobre el fenómeno. Esto es muy interesante pues como ya lo mencionamos anteriormente las hipótesis de B&S podrían no ser óptimas.
Recomendamos al lector interesado revisar los siguientes dos artículos en los que se detallan estos resultados.
- A Nonparametric Approach to Pricing and Hedging Derivative Securities Via Learning Networks
- Machine Learning in Finance: The Case of Deep Learning for Option Pricing
¿Dónde aprender más?
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